1.12 PREDICADOS

Definicion (Predicados de una variable)

Son expresiones en terminos de una variable que al ser remplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si x representa a cualquier elemento de Re, entonces, la expresion p(x) se definira como predicado.

La notacion para los predicados sera: p(x), q(x), r(x), etc.

Ejemplo Predicados

Dado Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p(x): x es impar.

Si x = 3, p(3): es impar, es una proposicion verdadera.


Si x = 6, p(6): 6 es impar, es una proposicion falsa.

Por lo tanto, p(x) es un predicado

Ejemplo Predicados Compuestos

Para el Re y p(x) dados en ejemplo anterior,considere:

q(x): x <>

La expresion: ¬p(x) ⋀ q(x) tambien es un predicado.

Si x = 2: [¬p(2) ⋀ q(2)] ←→ 0

Si x = 3: [¬p(3) ⋀ q(3) ] ←→ 1

Definicion ( Conjunto de verdad de un predicado)

Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposicion verdadera. la notacion a utilizar para este conjunto es Ap(x), y se define como:

Ap(x) = {x/(x ∊ Re) ⋀ (p(x)←→1}

Ejemplo Conjuntos de verdad

Con referencia a los tres ejemplos anteriores:

Ap(x) = {1, 3, 5}

Aq(x) = {1, 2, 3, 4 }
Ar(x) = {2}

Ejemplo Complementos de conjuntos de verdad

Partiendo de los mismos ejemplos ya citados anteriormente, se puede concluir que:

A¬p(x) = {2, 4, 6}
A¬q(x) = {5, 6}
A¬r(x) = {1, 3, 4, 5, 6}

Definicion ( Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores)
Una proposicion que contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjunto referencial de expresion abierta.

∀xp(x)←→(Ap(x) = Re)
Una proposicion con uno cuantificador existencial es verdadera si y solo si el conjunto de verdad del predicado no es vacio.
∃(p(x)←→ ¬(Ap(x) = Ø)